开坑（雾）

夜空中的鲸鱼

好了我们来讲讲求导先把（危）
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量△x时，相应的函数值取得增量△y。如果△y与△x之比当△x→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0)
即

夜空中的鲸鱼

求导法则
(Cu)'=Cu'
(u±v)=u'±v'
(uv)'=u'v+uv'
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
dy/dx=dy/du·du/dx

夜空中的鲸鱼

最近几天回老家就不更了

千变万化

天守（鲸浪） 发表于 2024-8-22 21:19
呃呃呃刚刚在写作业
好的加速度a=v/t，那么我们可以列出以下几个等式
s=v0·t+(at^2)/2

你讲的不具体啊，其他没学过的估计看不明白，我再写一遍吧

在物理学中，加速度是一个描述物体速度变化快慢的物理量。它定义为速度的变化率，即单位时间内速度的变化量。加速度的数学表达式如下：

𝑎=Δ𝑣Δ𝑡=𝑣𝑓−𝑣𝑖𝑡𝑓−𝑡𝑖a=ΔtΔv​=tf​−ti​vf​−vi​​

其中：

• 𝑎a 是加速度，
• Δ𝑣Δv 是速度的变化量，
• 𝑣𝑓vf​ 是最终速度，
• 𝑣𝑖vi​ 是初始速度，
• Δ𝑡Δt 是时间间隔，
• 𝑡𝑓tf​ 是结束时刻，
• 𝑡𝑖ti​ 是开始时刻。
  

加速度的国际单位是米每秒平方（m/s²）。如果一个物体的速度每秒增加1米/秒，则它的加速度是1 m/s²。

一些重要的加速度概念包括：

• 匀加速直线运动：物体沿着直线以恒定的加速度运动。
• 重力加速度：地球表面附近自由下落的物体受到的加速度大约为9.8 m/s²（通常近似为10 m/s²），方向垂直向下指向地心。
• 向心加速度：物体沿圆周运动时，指向圆心的加速度，其大小为 𝑎𝑐=𝑣2𝑟ac​=rv2​，其中𝑣v是物体的瞬时速度，𝑟r是圆的半径。
  

千变万化

好像忘说描述物体的位置了，补充一下吧(虽说简单的不行)

• 参考系：
  • 参考系是指用来描述物体位置的一组坐标轴和原点。选择不同的参考系可能会导致物体位置的不同描述。
    
• 坐标系：
  • 一维坐标系（直线坐标系）：仅用一条数轴来表示位置，适用于直线上的运动。
  • 二维坐标系（平面直角坐标系）：由两条互相垂直的数轴组成，通常标记为x轴和y轴，用于描述平面上物体的位置。
  • 三维坐标系：由三条互相垂直的数轴组成，通常标记为x轴、y轴和z轴，用于描述空间中物体的位置。
    
• 位置矢量：
  • 位置矢量是从参考系的原点到物体所在位置的有向线段。在二维坐标系中，位置矢量可以用(x, y)的形式表示；在三维坐标系中，则用(x, y, z)的形式表示。
    
• 坐标变换：
  • 当需要从一个参考系转换到另一个参考系时，需要进行坐标变换，这涉及到坐标轴的旋转和平移。
    
  
  

示例

假设我们有一个物体位于二维直角坐标系中，该物体的位置可以用位置矢量来表示，例如位置矢量为(3, 4)米，这意味着物体相对于原点在x轴方向上3米，在y轴方向上4米。

千变万化

Тёмный 发表于 2024-8-25 08:50
你讲的不具体啊，其他没学过的估计看不明白，我再写一遍吧

顺便补充点基础知识吧

• 速度：
  • 定义：速度是物体位置随时间的变化率，即物体在单位时间内位置的变化量。
  • 表示：𝑣=Δ𝑥Δ𝑡v=ΔtΔx​
    • 其中，Δ𝑥Δx 表示位置的变化量，Δ𝑡Δt 表示相应的时间间隔。
      
  • 类型：
    • 平均速度：在一段时间内的总位移除以这段时间。
    • 瞬时速度：在某一时刻的速度，相当于极短时间内的平均速度。
      
    
    
• 加速度：
  • 定义：加速度是速度随时间的变化率，即单位时间内速度的变化量。
  • 表示：𝑎=Δ𝑣Δ𝑡a=ΔtΔv​
    • 其中，Δ𝑣Δv 表示速度的变化量，Δ𝑡Δt 表示相应的时间间隔。
      
  • 类型：
    • 平均加速度：在一段时间内的总速度变化量除以这段时间。
    • 瞬时加速度：在某一时刻的加速度，相当于极短时间内平均加速度的极限值。
      
    
    
  
  

特殊情况

• 匀速直线运动：
  • 物体以恒定速度运动，加速度为零。
  • 位置随时间线性变化：𝑥(𝑡)=𝑥0+𝑣𝑡x(t)=x0​+vt
    
• 匀加速直线运动：
  • 物体以恒定加速度运动。
  • 速度随时间线性变化：𝑣(𝑡)=𝑣0+𝑎𝑡v(t)=v0​+at
  • 位置随时间二次变化：𝑥(𝑡)=𝑥0+𝑣0𝑡+12𝑎𝑡2x(t)=x0​+v0​t+21​at2
    
  
  

图像表示

• 速度-时间图（v-t图）：
  • 斜率表示加速度。
  • 与时间轴围成的面积表示位移。
    
• 加速度-时间图（a-t图）：
  • 加速度为常数时，表示匀加速运动。
  • 加速度为零时，表示匀速运动。
    
  
  

千变万化

键盘已经在冒烟了……算了更完这一篇吧，讲讲力学进阶(进阶了就一点点)

牛顿三定律

• 牛顿第一定律（惯性定律）：
  
  
  • 如果一个物体不受外力作用，或者所受合外力为零，则静止的物体会保持静止状态，而匀速直线运动的物体会继续以恒定速度沿直线运动。
    
• 牛顿第二定律（动力定律）：
  
  
  • 物体的加速度与作用在其上的净外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与作用力的方向相同。
  • 数学表达式：𝐹=𝑚𝑎F=ma
    
    • 其中，𝐹F 是作用力，𝑚m 是物体的质量，𝑎a 是物体的加速度。
      
    
    
• 牛顿第三定律（作用与反作用定律）：
  
  
  • 对于每一个作用力，总存在一个大小相等、方向相反的反作用力。
  • 也就是说，如果物体A对物体B施加了一个力，那么物体B也会对物体A施加一个大小相等但方向相反的力。
    
  
  

力的概念

• 力：力是改变物体运动状态的原因。力可以使物体从静止变为运动，也可以使运动中的物体改变速度或方向。
• 单位：国际单位制中力的基本单位是牛顿（N）。
  

摩擦力

• 定义：摩擦力是一种阻碍物体相对运动的力。
• 类型：
  
  • 静摩擦力：当两个接触面之间没有相对滑动时，阻碍物体开始运动的力。
  • 动摩擦力：当两个接触面之间已经发生相对滑动时，阻碍物体继续滑动的力。
    
• 计算：
  
  • 静摩擦力的最大值通常由 𝑓𝑠≤𝜇𝑠𝑁fs​≤μs​N 给出，其中 𝜇𝑠μs​ 是静摩擦系数，𝑁N 是垂直于接触面的作用力（通常是重力的一个分量）。
  • 动摩擦力由 𝑓𝑘=𝜇𝑘𝑁fk​=μk​N 给出，其中 𝜇𝑘μk​ 是动摩擦系数。
    
  
  

弹性力

• 定义：当物体被拉伸或压缩时，物体会产生一个试图恢复到原来形状的力。
• 胡克定律：对于许多固体材料，在弹性限度内，弹性力与形变量成正比。
  
  • 数学表达式：𝐹=−𝑘𝑥F=−kx
    
    • 其中，𝐹F 是弹性力，𝑘k 是弹簧常数，𝑥x 是形变量。
      
  • 注意负号表示力的方向总是与形变方向相反。
    
  
  

千变万化

我也来掺和一脚导数吧


基本概念

• 导数的定义：
  
  
  • 函数 𝑓(𝑥)f(x) 在点 𝑥=𝑎x=a 处的导数定义为：
    𝑓′(𝑎)=lim⁡ℎ→0𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)ℎf′(a)=limhf(a+h)−f(a)​
  • 如果这个极限存在，我们称函数 𝑓(𝑥)f(x) 在点 𝑥=𝑎x=a 处可导。
    
• 几何意义：
  
  
  • 导数 𝑓′(𝑎)f′(a) 表示函数 𝑓(𝑥)f(x) 在点 𝑥=𝑎x=a 处切线的斜率。
    
  
  

常见的求导法则

• 幂法则：
  
  
  • 如果 𝑓(𝑥)=𝑥𝑛f(x)=xn，则 𝑓′(𝑥)=𝑛𝑥𝑛−1f′(x)=nxn−1。
    
• 常数倍法则：
  
  
  • 如果 𝑓(𝑥)=𝑐⋅𝑔(𝑥)f(x)=c⋅g(x)，则 𝑓′(𝑥)=𝑐⋅𝑔′(𝑥)f′(x)=c⋅g′(x)。
    
• 和差法则：
  
  
  • 如果 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)±ℎ(𝑥)f(x)=g(x)±h(x)，则 𝑓′(𝑥)=𝑔′(𝑥)±ℎ′(𝑥)f′(x)=g′(x)±h′(x)。
    
• 乘积法则：
  
  
  • 如果 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⋅ℎ(𝑥)f(x)=g(x)⋅h(x)，则 𝑓′(𝑥)=𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥)+𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥)f′(x)=g(x)h′(x)+g′(x)h(x)。
    
• 商法则：
  
  
  • 如果 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)f(x)=h(x)g(x)​，则 𝑓′(𝑥)=𝑔′(𝑥)ℎ(𝑥)−𝑔(𝑥)ℎ′(𝑥)(ℎ(𝑥))2f′(x)=(h(x))2g′(x)h(x)−g(x)h′(x)​。
    
• 链式法则：
  
  
  • 如果 𝑓(𝑥)=𝑔(ℎ(𝑥))f(x)=g(h(x))，则 𝑓′(𝑥)=𝑔′(ℎ(𝑥))⋅ℎ′(𝑥)f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)。
    
  
  

示例

假设我们有一个函数 𝑓(𝑥)=3𝑥2−2𝑥+5f(x)=3x2−2x+5，我们可以分别对其每一项求导：

• 对 3𝑥23x2 求导得到 6𝑥6x。
• 对 −2𝑥−2x 求导得到 −2−2。
• 常数项 55 的导数为 00。
  

因此，函数 𝑓(𝑥)=3𝑥2−2𝑥+5f(x)=3x2−2x+5 的导数为 𝑓′(𝑥)=6𝑥−2f′(x)=6x−2。

千变万化

旧版进不去，社区服人少，j4b的服也进不去，好无聊，讲讲能量和动量吧，闲得慌



能量

• 定义：能量是物体能够做功的能力。
• 单位：国际单位制中能量的基本单位是焦耳（J）。
  

势能

• 定义：势能是由于物体的位置或构型而具有的能量。
• 类型：
  • 重力势能：物体由于高度而具有的能量。
    • 数学表达式：𝑈𝑔=𝑚𝑔ℎUg​=mgh
      • 其中，𝑚m 是物体的质量，𝑔g 是重力加速度，ℎh 是物体相对于参考点的高度。
        
      
      
  • 弹性势能：物体由于被拉伸或压缩而具有的能量。
    • 数学表达式：𝑈𝑒=12𝑘𝑥2Ue​=21​kx2
      • 其中，𝑘k 是弹簧常数，𝑥x 是弹簧的形变量。
        
      
      
    
    
  
  

能量守恒定律

• 定义：在一个封闭系统中，能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式，系统的总能量保持不变。
• 数学表达式：𝐸initial=𝐸finalEinitial​=Efinal​
  • 即系统的初始能量等于最终能量。
    
  
  

动量守恒定律

• 定义：在一个封闭系统中，如果没有外力作用，系统的总动量保持不变。
• 数学表达式：𝑝⃗initial=𝑝⃗finalp​initial​=p​final​
  • 其中，𝑝⃗p​ 是动量的矢量表示，𝑝⃗=𝑚𝑣⃗p​=mv，𝑚m 是物体的质量，𝑣⃗v 是物体的速度。
    
  
  

示例假设有两个物体组成的系统，在没有外力作用的情况下发生碰撞。设碰撞前两个物体的质量分别为 𝑚1m1​ 和 𝑚2m2​，速度分别为 𝑣⃗1v1​ 和 𝑣⃗2v2​；碰撞后两个物体的速度分别为 𝑣⃗1′v1′​ 和 𝑣⃗2′v2′​。

根据动量守恒定律，我们可以写出：

𝑚1𝑣⃗1+𝑚2𝑣⃗2=𝑚1𝑣⃗1′+𝑚2𝑣⃗2′m1​v1​+m2​v2​=m1​v1′​+m2​v2′​

同样，如果考虑能量守恒定律，并且假定碰撞是完全弹性的，则系统的总动能也保持不变：

\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1v'_1^2 + \frac{1}{2}m_2v'_2^2

千变万化

热学进阶


热力学第一定律

热力学第一定律是能量守恒定律在热力学系统中的体现，它指出在一个封闭系统中，能量既不会凭空产生也不会凭空消失，只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量不变。用公式表示就是：

ΔU=Q−WΔU=Q−W

其中：

• ΔUΔU 表示系统的内能变化；
• QQ 表示系统吸收的热量；
• WW 表示系统对外做的功。
  

这里的符号约定是：当系统吸收热量时 Q>0Q>0，系统对外做功时 W>0W>0，因此内能增加 ΔU>0ΔU>0；反之，系统释放热量时 Q<0Q<0，外界对系统做功时 W<0W<0，则内能减少 ΔU<0ΔU<0。

理想气体状态方程

理想气体状态方程描述了理想气体的状态与其宏观参数（压力、体积、温度）之间的关系。理想气体是一种假设的理想化模型，没有实际存在的理想气体，但在一定条件下真实气体的行为可以近似看作理想气体。理想气体状态方程可以用以下公式表示：

PV=nRTPV=nRT

其中：

• PP 是气体的压力（单位：帕斯卡 Pa 或牛顿每平方米 N/m²）；
• VV 是气体的体积（单位：立方米 m³）；
• nn 是气体的摩尔数（单位：摩尔 mol）；
• RR 是理想气体常数（8.314 J/(mol·K)）；
• TT 是气体的绝对温度（单位：开尔文 K）。
  

温度与热量温度

温度是衡量物体冷热程度的一个物理量。它反映了物体内部分子平均动能的大小。在国际单位制中，温度的基本单位是开尔文（K），但是日常生活中常用的还有摄氏度（°C）和华氏度（°F）。

热量

热量是指在温度不同的两个物体之间由于温度差而发生的能量传递。热量传递的方向总是从高温物体向低温物体。热量的单位是焦耳（J）。

关系

• 温度是一个状态参数，描述物体的冷热程度。
• 热量是一个过程量，描述能量传递的过程。
• 当两个物体接触时，如果它们之间存在温度差，则会发生热量传递，直到达到热平衡。